防自学的思考

具体与抽象

我们在教幼儿园小朋友数数的时候，会说一根手指头加上一根手指头，等于两根手指头。你不会去跟他说，一只股票加上一只股票，等于两只股票；也不会去说一头牛加上一头牛，等于两头牛。

为什么呢？小朋友不知道什么是股票，因为没有接触过，只能把它抽象成一个物体；虽然知道什么是牛，但是眼前没有两头牛，只能在小小的脑袋里想象出来，进行加加减减。

手指头就不一样了，看得见摸得着，无聊的时候还可以啃一啃，两根手指头凑一起，十分具体，小朋友一下就可以明白“二”的含义。

抽象与想象，都需要我们的大脑产生额外的开销，想象还好说，几乎所有人都有足够的想象力，最多只会耽误学习的速度；但是抽象能力却是看天赋，要是抽象不出来，那么学习进度就会直接“卡住”。

因此，我得到促进自学的一个因素，便是用抽象、需要想象的例子，代替具体的例子。或者换句话说，想要实现易自学，要尽可能地采用具体形象的例子。在学生有了初步的概念后，逐步去掉脚手架，从具体到抽象过度。

比如学习信号处理的时候，采样的概念。首先是防自学版本，采样率4k去采样1k的正弦信号，大家看到这个脑子里是不是没有概念？但是我换成采样率4hz去采集1hz的正弦信号呢？是不是一下就容易懂的多了？

我们来分析一下这里的思考链路，4k和1k这些速率过快，我们不能直接理解，所以会想象采样率是信号的四倍，一个正弦周期有4个采样点。而4hz和1hz都是非常慢的速率，我们不费劲的就知道是四倍关系，并且时间慢符合人们日常生活中的时间，可以一下就能对应到0.25s、0.5s这些时间点，能够在脑子里面快速构建采样的图，理解起来就更加形象不废劲。

上面介绍的是概念的抽象，以采样举例。还有一种具体与抽象的关系在于计算公式。

计算公式我觉得可以分两类，一类是和物理相关的公式，一类是纯计算的公式。

物理相关的公式，结合物理的含义，可以一步步的带着读者推理/推导出来，这里一些教材会防自学的直接给出公式，然后解释怎么怎么计算，公式的引入一点都不合理自然。物理世界是具体的，数学建模是抽象的，用物理世界的具体，引出抽象的数学才是正常的理解逻辑。

这里的例子暂时没想到，后面补。

纯计算的公式，很多就已经脱离了物理的意义，只有极少数可以靠着强大的抽象能力，摸到其背后的深层物理意义，可遇不可求。所以讨论这些公式，把推导步骤写的尽可能清晰就可以了。

但是能，无论是物理还是纯计算，都会碰到表达式非常复杂的公式，即便不复杂，求和符号，垒乘符号相对于加减乘除这些基本计算符号，都是抽象的。为了方便别人理解计算的过程，要以具体的例子来讲解。比如求和，你先算2个数、再算3、4个数的，到最后逐步引入求和符号，这样才符合“从特殊到一般”的认知规律。

具身认知

为什么4Hz比4kHz好懂？不仅仅是因为“慢”，而是因为4Hz落在人类的感知阈值内（0.25秒是我们能清晰感知的时间段），而4kHz（0.00025秒）超出了直觉感知。这叫尺度效应。教学中把“微观/宏观”拉回到“中观（人类尺度）”是关键。

起源

一些教材的概念引入极其暴力，直接给出概念，没头没尾，学生不知道为什么要引入这个概念、这个算法。我们如果从概念的起源讲起，讲他是在什么难题下，人们观察什么现象，引入的概念，实现了建模、量化等目的。

就比如方差，直接学概念，会纳闷为什么引入这个计算公式，为什么是这样的计算。当你学完这个公式后，老师再告诉你把这个工具如何用于学生分数的部分分散程度。我们完全可以先把问题抛出来，有一个学生十次考试的成绩，散落在分数的各处，我们已经会用均值来表示平均能力了，但是如何描述发挥的稳定性呢？我们可以用分数的分散程度来量化反应，那这个分散程度如何计算呢？最大最小值的差能否反应、与均值的差（方差）能否反应等等，最后我们对比了这些量化指标，发现最大最小的差值，并不能反应稳定性，假如那两次是出了什么特殊情况呢，比如发烧引起的考试低，而且出了最大最小之外的分数分散信息，你都没有用上，万一出了最大最小，其他数据都是一模一样的呢，岂不是这个学生发挥很稳定嘛。因此方差才是最合适的，可以利用上所有分数的分散程度。到这里就引入了方差的概念，然后老师再带着学生，一步步的捏合出一个最好的方差公式，展示这个方差公式引入过程中的一步步过度过程。

这样才叫意义，应对考试、考试高分考个好大学赚大钱，这都不是知识的意义，如果知识只有这些意义的话，那太可悲了。

简单的还好，但是复杂的理论的起源错综复杂，这个时候就要进行适当的修饰裁剪，甚至是修改了的“伪历史”，也可以是思想实验用做起源，这里灵活选择。为什么要这样处理呢，因为起源的篇幅要是过长了，一个是会让学生等待太久，第二个是教材字数有限，会稀释知识点。

悬念

这个东西有助于拉取学生的注意力、记忆。适当的留有悬念，下节课揭晓或者思考题（注意不是作业题）。比如讲完方差了，你可以引入一个新的问题，形容这组数据的某个特性，比如（我现在想不到），让后让学生自己去想办法量化，设计一个自己的公式。下节课揭晓。

深刻辨析

边界性：有的知识有自己的局限，我们要引导学生意识到局限性，这样可以加深学生的理解。比如讲完均值，要给出一组极端数据（比如马云和穷人的平均财富），展示均值在这种情况下的欺骗性（这也是反向验证方差重要性的好机会）。

捉虫：在讲解例题，或者使用场景的时候，有的概念容易被混洗，对于这样的概念，可以故意说出一个看起来合理，极具欺骗性的错误说法，然后揭露里面不合理的地方，哪里存在陷阱，让学生可以思辨的看到知识的局限或者是细节处，加深学生的理解。

下面是更多的深刻辨析，如果辨析的内容要较大篇幅，记得单独分配个空间辨析，不然会让排版的信噪比受影响。当然这一部分就是一直在深刻辨析概念，就没必要单独分配了，辨析本身就是信噪比中的信。

1. “为什么不”的思维实验 (Counterfactual Reasoning)

很多教材只告诉学生“是什么（What）”和“为什么（Why）”，但很少解释**“为什么不（Why Not）”**。

核心逻辑： 解释为什么现有的方案是最好的，或者为什么其他看似合理的方案行不通。
例子： 在讲方差公式 $\frac{\sum(x-\mu)^2}{n}$ 时，学生一定会问：为什么要用平方？直接用绝对值 $|x-\mu|$ 不行吗？
辨析方法： 带着学生推演一遍“如果用绝对值会发生什么”。你会发现绝对值在求导时不可微，导致后续优化计算非常麻烦。通过这种**“替代方案的死胡同”**，学生才能深刻理解现有公式的精妙之处。

2. 参数的动态演变 (Dynamic Parameter Evolution)

静态的公式是死的，动态的物理意义才是活的。不要只看公式本身，要看参数变化带来的趋势。

核心逻辑： 控制变量法。如果公式里的 $A$ 变大，结果会怎么变？是线性变大，还是指数爆炸？
例子： 在讲正态分布公式时，不要只盯着 $\sigma$ 看。引导学生思考：如果 $\sigma$ （标准差）趋近于 0，那个钟形曲线会发生什么变化？（它会变得无限瘦高，最后变成一根针）。如果 $\sigma$ 趋近于无穷大呢？（它会变成一条贴着地面的平线）。
价值： 这能帮学生在脑海里建立动态图像，而不只是背诵符号。

3. 易混概念的“互斥辨析” (Mutually Exclusive Analysis)

有些概念长得像，或者容易混淆。光分别讲定义是不够的，必须把它们拉到擂台上打一架。

核心逻辑： 寻找两个概念的本质差异点，通过对比来划清界限。
例子： “准确率 (Accuracy)” 和 “精确率 (Precision)”。
- 辨析： 用打靶做比喻。
- 情况A： 子弹都打在靶心周围，但很散（准确但不精确）。
- 情况B： 子弹都打在九环的一个点上，聚成一团（精确但不准确）。
- 通过这种场景化的对比，彻底斩断混淆的可能性。

4. 理想与现实的“退化” (Degradation from Ideal to Reality)

教科书里的模型往往是完美的（真空、无摩擦），但现实是残酷的。

核心逻辑： 先讲理想模型，然后一点点加入现实世界的“噪声”或“约束”，看模型如何退化或失效。
例子： 讲运放（Op-Amp）时，先讲“虚短虚断”的理想特性。然后马上辨析：但在高频信号下，运放的增益会下降，这时候“虚短”就不成立了。
价值： 这能培养学生的工程思维，让他们知道书本知识在实际应用中要打几折。

5. 量纲分析 (Dimensional Analysis)

这是一种非常高级但极其实用的“降维打击”辨析法，特别适合物理和工程类公式。

核心逻辑： 不看数值，只看单位（量纲）。如果等式两边的单位对不上，那公式一定错了。或者通过单位的组合，反推物理意义。
例子： 假设学生记不清单摆周期的公式是 $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ $T = 2 π \frac{L}{g}$ 还是 $T = 2\pi \sqrt{\frac{g}{L}}$ $T = 2 π \frac{g}{L}$ 。
- 辨析： $L$ 是长度（米）， $g$ 是加速度（米/秒平方）。
- $\frac{L}{g} = \frac{m}{m/s^2} = s^2$ 。开根号后是 $s$ （秒），符合时间的单位。
- 反之 $\frac{g}{L}$ 开根号是 $1/s$ （频率），不对。
价值： 教会学生一种自我校验的底层能力，这比死记硬背公式深刻得多。

认知负荷理论

理论把人的认知能力分成了

工作记忆

相当于电脑的内存，我们有意识的去思考和解决问题的地方。这部分记忆有限，只能处理4-7个记忆块。
长时记忆

相当于电脑的硬盘，随时拿出来的知识。这里就看学生的知识储备了，空间非常大。

该理论把学习上的负荷非常三类：

内在负荷

与知识的复杂性有关。1+1的内在负荷低，微积分的内在负荷高。这是无法避免的，我们应该合理规划，分割内在负荷，逐个击破。
外在负荷

由人为、环境、教学方式引起的负荷。比如嘈杂的环境、不合理的教学方式都是。此部分要越少越好。
相关负荷

为了理解而引发的思考，脑力消耗。思考的越多理解的越深。这部分负荷越多越好。

总认知负荷 = 内在负荷 + 外在负荷 + 相关负荷

为了方便理解，假设你的大脑是肌肉，学习任务是举哑铃。

内在负荷（任务难度）： 哑铃本身的重量（比如 20 公斤）。这是死任务，没法变。
外在负荷（无效干扰）： 地板太滑、旁边有人大声吵闹、哑铃生锈了不好抓。这些会分散你的力气，让你容易受伤，是坏的负荷。
相关负荷（有效发力）： 你的肌肉为了举起哑铃而收缩、发力的过程。

内在负荷的难度不是绝对的，是相对的，衡量标准教元素交互性。

低交互性（简单）： 比如背单词表。单词 A 和单词 B 没关系，你可以一个一个背。
高交互性（困难）： 比如解代数方程。你必须同时顾及 xxx、yyy、正负号、移项规则。这些元素是纠缠在一起的，必须同时在脑子里处理。

每个人的长时记忆不同，因此对于交互性高的知识来说，内在负荷也不同。小学生看到superman，看到的是s,u,p…a,n。一个个字母，光是记住组合就塞满了工作记忆，更别提理解他的含义了。而大学生看到的是super+man，两个记忆块，很快就能理解。

因此教程，需要有个目标人群的画像，比如是刚入学的大学生，还是熟练掌握信号处理的大三学生，教程的内在负荷是不一样的。

总认知负荷不能超过工作记忆，否则人会接受不了。

对于课堂的场景，需要合理的安排好板书，比如一些内容非常长，但是后面的知识需要它为前提，教师说出来后，学生需要用头脑抓住不放，才能理解后续的内容，这样会占用大量的工作记忆。最好是用纸记下来，减少工作记忆的占用，为缓存扩容。

冗余

为了讲清楚一个知识，我们会多说很多话，多配很多的图，这样就导致了“废话”较多，如果一个示例就可以讲清楚，没必要上两个示例；一张图可以讲清楚的事情，没必要上两张图；图片本身一下就可以会意的，没必要说非常多的话来解释图例（要是图片可能没那么好懂，必要的解释是需要的，这是有效重复，而不是无效冗余）。能用曲线图标识清楚的，就没必要上看起来非常高级的图表，一切从简，做减法，这样可以进一步减少内在负荷和减少外在负荷。

《统计至简》、《矩阵力量》的作者，通过非常形象的图表和详细的公式解释，让读者很轻松的明白了知识，但是篇幅大，话多，导致了知识密度低。后期复习起来比较费劲。

新的呈现形式

得益于现在的网络记录，大家可以不仅仅阅读纸质书和PDF，还可以阅读网页的在线书，在线书就很有说法了，里面可以支持非常丰富的组件，比如可以交互的图表，可以折叠的内容等。这样的富媒体可以充分利用起来。

喧宾夺主

为了吸引人，最近我看到很多教师课上，为了吸引学生，引入了游戏、互联网梗等内容。初见确实颠覆传统，与学生的兴趣爱好相投，和传统的枯燥无味的课堂形成鲜明对比。

这个的坏处十分明显，“有趣”的内容吸引了过多的注意力，学生在知识本身上的注意力减少了。很多时候是，看过笑过之后，知识点就遗忘了。这样的“有趣”会变成“外在负荷”。

且不论课堂这样的场景，难以说明是否合适，你要是对每个知识都能找到游戏等场景来吸引学生，我也佩服你，实际上不太可能。我们单说文档教学，不考虑学生的主动性。书本就在那里，学生的主动性是学生自己的问题，一个好的教材、教学要做的是讲好知识，不让外在负荷，伤到学生的求知欲，而不是劝学。

我觉得易懂、幽默风趣的表达方式，比梗和游戏更适合教学这样严肃的场景。

练习题

看懂教材容易了，就怕不进脑子，或者学生高估自己的能力。

教材上，在合适的位置上要讲好几个习题（问题），带着学生运用知识一步步详细的解决实际问题。一上来就自己做习题会让学生摸不着头脑，当然用于引入知识的问题，不算习题，可以带着学生思考。

让学生灵活运用知识，解决习题是巩固学生知识的很好的方式，在脑子里面提取知识解决问题，就是认知负荷理论里面的相关负荷，是有益的。没必要重复锻炼一块知识，造成刷题，前面说过刷题应付考试是非常悲哀的事情，我们应该设计更加大的相关负荷，充分调动学生对知识的理解，要是能和先前学到的知识配合，或者让学生自然而然的引出后续的知识，那就更好了，这样有助于帮学生建立知识的链接。

有的习题，学生容易犯固定的错误，可以在提供解答的时候，顺便对这种错误进行纠正。

结构与组织

小步子原则：写教材，要有一个整体概念，合理安排每一部分的内容，而不是想到哪里就写到哪里。比如一句话或者一段不要过长，一个逻辑链不要跨过三张纸，过长会占用过多的工作记忆，

路标：增加目录与排版，可以用结构化的目录，或者思维导图，让学生摸清楚自己所处的位置，知识点之间的关联。

情绪化

自学最难的是卡住后，孤独和自我怀疑。对于难懂的知识，及时的附上一句：“看到这里可能会比较晕，这是正常的不必灰心”；对于不得不引入无关紧要的难知识的时候，或者内容不重要的时候，可以说上“看不懂不要紧，这里不是重点，可以理解了XXX后回过来看就会明白的”诸如此类的话。

知识的诅咒

当你懂一个东西时，你无法想象“不懂这个东西”是什么状态。你以为你讲得很具体了（比如用4Hz举例），但你可能无意中使用了“周期”、“相位”这些你觉得是常识，但小白完全不懂的词。这个时候只能说针对目标人群，尽可能的代入他们的角色，考虑他们会不会有不懂的知识，然后考虑下面的内容：

在每一章开头，明确列出：学这一章之前，你必须懂什么？（比如：学方差前，必须懂均值和减法）。
术语的“降维打击”：第一次出现专业术语时，必须立刻解释，或者用通俗语言包裹。

理解的深度

有的老师本人对知识的理解就不深刻，他们自己就是按照防自学教材学的，凭借着智商一步步考得高分当上教师的，国内的教师资格证，不也是一直考试嘛，不会在意是否真的教的好、理解深入。因此我们不光要把知识讲好，更要自己对知识有深刻的理解，摸到本质。这样才可以把教材写好，写的深刻。奥本海姆的信号与系统，就把信号知识讲解的十分深刻，和国内其他教材形成鲜明对比。

降低外在负荷

排版的信噪比

对于重点的内容，我们需要用加粗或者独立色块来突出显式，这样能够让读者迅速找到关键点，避免在茫茫的文字中迷路。密密麻麻的文字本身就是一种视觉压力。适当的留白能让大脑“喘口气”。这属于降低外在负荷的具体手段

1. 空间邻近原则 (Spatial Contiguity Principle)

这是教材排版中最大的杀手。

错误做法： 文字在第 10 页写着“如图 3 所示……”，结果图 3 在第 11 页或者第 12 页。读者的视线需要在文字和图片之间来回大幅度跳跃，甚至要翻页。这种“眼球扫视”和“短暂记忆维持”极其消耗脑力。
正确做法： 图文不分家。解释图片的文字，不要放在正文里，而是直接作为**标注（Label）**放在图片内部，或者紧挨着图片。
防自学手段： 让读者像看说明书一样，指哪打哪，而不是像看侦探小说一样到处找线索。

2. 信号/线索原则 (Signaling/Cueing Principle)

读者面对一大段文字或复杂的图表时，不知道眼睛该往哪里看。

手段：
- 颜色编码（Color Coding）： 这是最高级的技巧。如果公式里的变量 xxx 是红色的，那么图表里的 xxx 轴也应该是红色的，正文中提到“变量 xxx”时，这个 xxx 也用红色。这种视觉上的连接能瞬间打通公式、图像和文字，省去了大脑做“连连看”的力气。
- 视觉引导： 在复杂的流程图中，用箭头、高亮框、阴影来引导阅读顺序。不要让读者自己去猜是从左往右读，还是从上往下读。

3. 一致性原则 (Consistency) —— 符号与术语

这是自学者最容易“鬼打墙”的地方。

错误做法：
- 前一章叫“速率”，后一章叫“速度”，其实指的是同一个东西。
- 公式里一会儿用 vvv 表示电压，一会儿用 uuu 表示电压。
- 图表里的单位是 m/sm/sm/s，正文里的计算却用了 km/hkm/hkm/h，且没有显式的转换过程。
正确做法： 死板的一致性。哪怕行文枯燥一点，也要保证同一个概念在全书中只有唯一的名称、唯一的符号、唯一的单位。如果必须变，必须显式地声明“这里我们将 vvv 换成了 uuu，因为……”。

4. 预训练原则 (Pre-training Principle)

当学生同时面对“新概念”和“复杂交互”时，负荷会爆表。

手段： 在进入复杂的综合案例（高交互性）之前，先单独把涉及到的**组件（Component）**拿出来认一遍。
例子： 在讲复杂的电路图（如何运作）之前，先给一个清单，把里面的电阻、电容、三极管单独列出来，讲清楚它们各自长什么样、叫什么。
逻辑： 先把“零件”装进长时记忆，再在工作记忆里处理“组装”的过程。

5. 模态原则 (Modality Principle) —— 针对在线/富媒体教材

如果你做的是视频或有声书，这一点至关重要。

原理： 人的视觉通道和听觉通道是独立的。
错误做法： 屏幕上放着大段文字，配音员同时在朗读这段文字（这是最糟糕的，因为视觉和听觉在打架，争夺语言处理中心）。
正确做法： 画面展示图像/动画（视觉），声音进行解说（听觉）。这样利用了双通道，相当于给工作记忆扩容了。如果是纯文字教材，就不要指望读者能一边看复杂的图，一边读复杂的字，必须把图文分开或者融合（参考第1点）。

6. 避免“回溯性”阅读 (Avoid Backward Reference)

错误做法： “正如我们在第一章所讨论的……”、“根据公式 (2-14)……”。
痛点： 读者根本记不住第一章说了啥，也记不住公式 2-14 长啥样。他必须停下来，往前翻书，打断心流。
正确做法：

就地重现

。
- “正如第一章提到的采样定理（即采样率需大于2倍信号频率）……” —— 顺手把定义再写一遍。
- “根据公式 (2-14) F=maF=maF=ma……” —— 把公式再列一遍。
- 不要吝啬这点墨水，这能极大地保护读者的连贯性思维。

7. 字体与排版的易读性 (Legibility)

这是最基础的物理层面负荷。

手段：
- 行长控制： 一行字不要太长（比如网页全屏宽），眼球换行时容易串行。
- 行高（Line-height）： 密密麻麻的字块让人窒息。
- 字体区分： 代码用等宽字体，正文用衬线/无衬线字体，数学公式用斜体。这种格式上的区分能让大脑潜意识里快速分类信息，不需要读内容就知道这是代码还是人话。

唐承乾